已知定义在(0,正无穷大)上的函数f(x),对任意x,y∈(0,正无穷大)

已知定义在(0,正无穷大)上的函数f(x),对任意x,y∈(0,正无穷大)

已知定义在（0,正无穷大）上的函数f(x)对任意x,y属于（0,正无穷大）,恒有f(xy)=f(x)+f(y),且当0＜x＜1时,f(x)＞0.证明：当x＞1时,f(x)＜0.判断f(x)的单调性并加以证明

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1个回答

令 x=y=1,由 f(xy)=f(x)+f(y) 有

f(1)=f(1)+f(1),得 f(1)=0

令 y=1/x 得 f(x)+f(1/x)=0

即 f(x)=-f(1/x)

对任意 x>1,有 00

因为 x/y

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