（2011•西山区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，DE⊥AC交AC延长线于点E，OE交AD于点F．
（Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若[AC/AB＝
3
5]，求[AF/DF]的值．
Pinkfluid11
1年前
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缨子_Hebe
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证明：（Ⅰ）连接OD，
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD
∵∠BAC的平分线是AD
∴∠OAD=∠DAC
∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…（3分）
又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD
∵OD是⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线．…（5分）
（Ⅱ）连接BC、DB，过D作DH⊥AB于H，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
Rt△ABC中，cos∠CAB＝
AC
AB＝
3
5
∵OD∥AE，∴∠DOH=∠CAB，
∴cos∠DOH＝cos∠CAB＝
3
5．
∵Rt△HOD中，cos∠DOH＝
OH
OD，
∴[OH/OD＝
3
5]，设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，
∴Rt△HOD中，DH=
OD2−OH2=4x，AH=AO+OH=8x，
Rt△HAD中，AD2=AH2+DH2=80x2…（8分）
∵∠BAD=∠DAE，∠AED=∠ADB=90°
∴△ADE∽△ADB，可得[AD/AE＝
AB
AD]，
∴AD2=AE•AB=AE•10x，而AD2=80x2
∴AE=8x
又∵OD∥AE，
∴△AEF∽△ODF，可得[AF/DF＝
AE
DO＝
8
5]…（10分）
1年前
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