已知:如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线与⊙O的交点为D,DE⊥AC,与AC的延长线交于点E.
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解题思路:(1)连接OD,根据角平分线定义和等腰三角形性质推行∠CAD=∠ODA,推出OD∥AC,根据平行线性质和切线的判定推出即可;

(2)连接BC,推出矩形ECGD,设AC=4a,AB=5a,求出OD、求出OG的长,推出CE=DG,求出CE长,求出AE,证△AEF和△OFD相似,得出比例式,代入求出即可.

(1)证明:连接OD,

∵AD平分∠CAB,

∴∠CAD=∠BAD,

∵OA=OD,

∴∠BAD=∠ADO,

∴∠CAD=∠ODA,

∴OD∥AC,

∵DE⊥AC,

∴DE⊥OD,

∴直线DE是⊙O的切线.

(2)

连接BC交OD于G,

∵AB是直径,

∴∠ACB=90°,

∴cos∠BAC=[4/5]=[AC/AB],

设AC=4a,AB=5a,由勾股定理得:BC=3a,

∴OA=OD=OB=2.5a,

∵∠ECG=90°=∠DEC=∠EDG,

∴四边形ECGD是矩形,

∵OG为△ABC中位线,

∴G为BC中点

∴DE=CG=1.5a,

∵OD∥AE,OA=OB,

∴CG=BG,

∴OG=[1/2]AC=2a,

∴DG=EC=2.5a-2a=0.5a,

∴AE=AC+CE=4a+0.5a=4.5a,

∵OD∥AC,

∴△AEF∽△DOF,

∴[DF/AF]=[OD/AE]=[5/9].

点评:

本题考点: 切线的判定与性质;角平分线的定义;平行线的性质;等腰三角形的性质;勾股定理;圆周角定理;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义.

考点点评: 本题综合考查了等腰三角形的性质,平行线的性质,切线的性质和判定,相似三角形的性质和判定,锐角三角函数,勾股定理,角平分线定义等知识点的运用,题目较好,综合性强,有一定的难度,主要培养学生综合运用所学知识进行推理的能力.