已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的函数，对任意实数x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞
1个回答
解题思路：（1）利用赋值法结合条件即可求f（9）；（2）根据函数单调性的定义，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）根据条件确定满足条件的函数解不等式即可得到结论．
（1）∵f（3）=-1．
∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2f（3）=-2；
（2）递减函数；取0＜x1＜x2，则
x2
x1＞1，则f（
x2
x1）＜0，
又∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（x2）-f（x1）=f（
x2
x1•x1）-f（x1）=f（
x2
x1•）+f（x1）-f（x1）=f（
x2
x1）＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
（3）∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（1）=0，且函数在（0，+∞）上的单调递减，
则满足此条件的函数为单调递减的对称函数，
不妨设f（x）=log
1
3x，
则不等式f（x-2）＞1-f（[1/4−x]）等价为f（x-2）+f（[1/4−x]）＞1．
即f[（x-2）（[1/4−x]）]＞1，
即f[（x-2）（[1/4−x]）]＞f（[1/3]），
则等价为
x−2＞0
1
4−x＞0
(x−2)•
1
4−x＜
1
3，
即
x＞2
x＜4
3(x−2)＜4−x，解得2＜x＜[5/2]．
即此时不等式的解集为（2，[5/2]）
点评：
本题考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，综合考查函数的性质是应用．
相关问题
