解题思路：（Ⅰ） 由题意知f'（x）=3x2-2ax+3=0的一个根为x=3，可得a=5，再利用导数求其最小值和最大值
（Ⅱ）f'（x）=3x2-2ax+3，要f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，则有3x2-2ax+3≥0在x∈[1，+∞）内恒成立，分离参数a，转化为即
a≤
3x
2
+
3
2x]在x∈[1，+∞）内恒成立
（Ⅰ） 由题意知f'（x）=3x2-2ax+3=0的一个根为x=3，可得a=5，…（3分）
所以f'（x）=3x2-10x+3=0的根为x=3或 x＝
1
3（舍去），
当1＜x＜3时，f'（x）＜0，当3＜x＜5时，f'（x）＞0，
f（x）在x∈[1，3]上单调递减，在x∈[3，5]上单调递增
又f（1）=-1，f（3）=-9，f（5）=15，
∴f（x）在x∈[1，5]上的最小值是f（3）=-9，最大值是f（5）=15．…（7分）
（Ⅱ）f'（x）=3x2-2ax+3，要f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，则有3x2-2ax+3≥0在x∈[1，+∞）内恒成立，
即a≤
3x
2+
3
2x在x∈[1，+∞）内恒成立
又[3x/2+
3
2x≥3（当且仅当x=1时取等号），所以a≤3…（13分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，求函数的单调性，函数的最值，分离参数的方法解决恒成立问题．
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