求两柱面x^2+y^2=R^2及x^2+z^2=R^2所围立体的表面积.(是表面积!不是体积!)
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根据题意分析知,所求表面积是由4个表面积相等的曲面构成.

其中一个表面积S=∫∫ds (z=√(r²-x²),D：x²+y²=r²)

∵αz/αx=-x/√(r²-x²),αz/αy=0

∴ds=√[1+(αz/αx)²+(αz/αy)²]dxdy=[r/√(r²-x²)]dxdy

则 S=∫∫ds

=∫∫[r/√(r²-x²)]dxdy

=4r∫dθ∫ρdρ/√(r²-ρ²cos²θ) (作极坐标变换)

=-2r∫dθ∫d(r²-ρ²cos²θ)/[cos²θ√(r²-ρ²cos²θ)]

=4r∫[(r-rsinθ)/cos²θ]dθ

=4r²∫(sec²θ-sinθ/cos²θ)dθ

=4r²(tanθ-secθ)│

=4r²(0+1)

=4r²

故 所求表面积=4S=4(4r²)=16r².

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