双曲线16x2-9y2=144的左、右两焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|=64，求△PF1

双曲线16x2-9y2=144的左、右两焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|=64，求△PF1F2的面积．

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解题思路：双曲线化成标准方程得

x

2

9

−

y

2

16

＝1

，从而算出F1（-5，0），F2（5，0）．再设|PF1|=m，|PF2|=n，由双曲线的定义和余弦定理，结合题意建立关于m、n的方程组，解出

∠

F

1

P

F

2

＝6

0

0

，最后利用正弦定理的面积公式即可求出△PF1F2的面积．

双曲线方程16x2-9y2=144化简为

x2

9−

y2

16＝1

即a2=9，b2=16

∴c2=25，解得a=3，c=5，可得F1（-5，0），F2（5，0）…（3分）

设|PF1|=m，|PF2|=n，

由双曲线的定义知|m-n|=2a=6，又已知m•n=64，…（5分）

在△PF1F2中，由余弦定理知

cos∠F1PF2＝

|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|=

m2+n2−(2c)2

2m•n

=

(m−n)2+2m•n−4c2

2m•n＝

36+2×64−4×25

2×64＝

1

2

∴∠F1PF2＝600

因此，△PF1F2的面积为

S△F1PF2＝

1

2|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2＝

1

2m•n•sin600＝16

3…（12分）

点评：

本题考点： 双曲线的简单性质．

考点点评： 本题给出双曲线的焦点三角形中，在已知两条焦半径的积的情况下求三角形的面积．着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于中档题．

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