某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小 - 已解决

某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为

某单位建造一间地面面积为12m²的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m²，房屋侧面的造价为150元/m²，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．

（1）把房屋总价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．

（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？

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解题思路：（1）分别算出房子的两个侧面积乘以150再加上房子的正面面积乘以400再加上屋顶和地面的造价即为总造价；

（2）我们可以先求房屋总造价的函数解析式，利用基本不等式或导数即可求出函数的最小值，进而得到答案．

（1）由题意可得，y＝3(2x×150+

x×400)+5800=900(x+

x)+5800(0＜x≤a)…（5分）

（2）y＝900(x+

x)+5800≥900×2

x×

x+5800＝13000

当且仅当x＝

x即x＝4时取等号…（7分）

若a≥4，x=4时，有最小值13000．…（8分）

若a＜4，任取x₁，x₂∈（0，a]且x₁＜x₂y1−y2＝900(x1+

x1)+5800−900(x2+

x2)−5800=900[(x1−x2)+16(

x1−

x2)]=

900(x1−x2)(x1x2−16)

x1x2

∵x₁＜x₂≤a，∴x1−x2＜0，x1x 2＜a2＜16

∴y₁-y₂＞0

∴y＝900(x+

x)+5800在(0，a]上是减函数…（10分）

∴当x=a时y有最小值900(a+

a)+5800…（12分）

故当a≥4时，当侧面的长度为4时，总造价最底，最低总造价是13000，

当a＜4时，当侧面的长度为a时，总造价最底，最低总造价是900(a+

a)+5800．

点评：

本题考点：函数模型的选择与应用．

考点点评：本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，正确构建函数是关键，属于基础题．

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