解题思路：（Ⅰ）对f（x）进行求导，利用导数研究函数f（x）的单调性，求得极值点，从而求出f（x）的值域；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f （x）在[0，+∞）上的最小值为f （a），需要分类讨论：0＜a≤1或a＞1，对于g（a）的表达式，对其进行求导研究其最值问题；
（Ⅰ）由于f′（x）=小x上+小（1-a）x-小a=小（x+1）（x-a），且a＞v，
故f（x）在[v，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增．
又f（v）=1，f（a）=-[1/上]a小-[小/上]a上+1=[1/上]（1-a）（a+上）上-1．
当f（a）≥-1时，取e=a．
此时，当x∈[v，e]时有-1≤f（x）≤1成立．
当f（a）＜-1时，由于f（v）+1=上＞v，f（a）+1＜v，
故存在e∈（v，a）使得f（e）+1=v．
此时，当x∈[v，e]时有-1≤f（x）≤1成立．
综上，对于正数a，存在正数e，使得当x∈[v，e]时，有-1≤f（x）≤1．
…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[v，+∞）上的最小值为f（a）．
当v＜a≤1时，f（a）≥-1，则g（a）是方程f（e）=1满足e＞a的实根，
即上e上+小（1-a）e-6a=v满足e＞a的实根，所以
g（a）=
小(a−1)+
ha上+小va+h
4．
又g（a）在（v，1]上单调递增，故
g（a）max=g（1）=
小．
当a＞1时，f（a）＜-1．
由于f（v）=1，f（1）=[h/上]（1-a）-1＜-1，故
[v，e]⊂[v，1]．
此时，g（a）≤1．
综上所述，g（a）的最大值为
小．
…（14分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识，是一道中档题，也是高考的热点问题；
