过抛物线x^2=4y的焦点F作一直线交抛物线于A,B两点则4|AF|+9|BF|的最小值
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答：

抛物线x^2=4y的焦点F（0,1）,准线y=-1

令直线方程为y-1=kx,y=kx+1代入抛物线方程得：

x^2-4kx-4=0

△=16k^2+16>0恒成立,直线和抛物线恒有两个不同的交点A和B

令A（x1,kx1+1）,B（x2,kx2+1)

x1+x2=4k

x1*x2=-4

|AF|=y1+1=kx1+2

|BF|=y2+1=kx2+2

原式=4|AF|+9|BF|=4kx1+8+9kx2+18

=(4x1+9x2)(x1+x2)/4+26

=(4x1^2+9x2^2+13x1*x2)/4+26

=[4x1^2+9(-4/x1)^2-4*13]/4+26

=x1^2+36/x1^2+13

>=2√[(x1^2)*(36/x1^2)]+13

=2*6+13

=25 当且仅当x1=√6或者x1=-√6时取得最小值.

所以：4|AF|+9|BF|最小值为25

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