数学立体几何帝请进两条直线与一平面所成的角分别是A B 两直线在平面上的射影所成的角是C 问：当两直线在平面同侧的时候

数学立体几何帝请进

两条直线与一平面所成的角分别是A B 两直线在平面上的射影所成的角是C 问：当两直线在平面同侧的时候 两直线所成的角（或正弦余弦等）是多少 当两直线分别在平面两侧时 两直线所成的角是多少?

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1.同侧时

1' 若两直线平行,则所成角为0

2' 若两直线不平行.

如图1,作任意两条不与平面α平行的同侧直线,平移使它们交于平面同一点O,分别在直线上取点A和B,过A.B作AM.BN⊥α于M.N,令AM=BN.则AMNB为矩形,因此AB=MN

由题,∠AOM=∠A,∠BON=∠B,∠MON=∠C

两直线所成角为∠AOB,为所求

余弦定理,cos∠C=(OM^2+ON^2-MN^2)/(2*OM*ON)

cos∠AOB=(AO^2+BO^2-AB^2)/(2*AO*BO)

=(AM^2+OM^2+BN^2+ON^2-MN^2)/[2*(OM/cos∠A)*(ON/cos∠B)]

=(cos∠Acos∠B)(OM^2+ON^2-MN^2+AM^2+BN^2)/(2*OM*ON)

=(cos∠Acos∠B)[(OM^2+ON^2-MN^2)/(2*OM*ON)+(AM^2+BN^2)/(2*OM*ON)

=(cos∠Acos∠B)[cos∠C+(2*AM*BN)/(2*OM*ON)]

=(cos∠Acos∠B)[cos∠C+(tan∠A*OM*tan∠B*ON)/(OM*ON)]

=cos∠Acos∠Bcos∠C+sin∠Asin∠B

即在同侧的情况下,两直线所成角为arc cos(cos∠Acos∠Bcos∠A+sin∠Asin∠B)

2.异测时

1'若两直线平行,则所成角为0

2'若两直线不平行

如图2,任意作两条不与平面α平行的异侧直线,平移使它们交于平面同一点O.分别在直线上取点A和B,延长BO至B',使B与A在同侧,过A.B作AM.BN⊥α于M.N,令AM=B'N.

因为空间几何中,任意两条直线的夹角都是小于等于90度的,若成钝角,应取其补角.

由题AOM=∠A,∠BON==AOM=∠A,∠BON=∠B'ON=∠B,∠MON'=∠C

两直线所成角为∠AOB,为钝角.因此∠AOB'为所求.

由此,转化为同侧直线为题,证明参见1.

综上,不管两直线存在于平面的同侧还是异侧,只要不平行,夹角均为arc cos(cos∠Acos∠Bcos∠C+sin∠Asin∠B)

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