数列{an}中,an=2a(n-1)+2^n+1,a3=27 求an通项公式?
3个回答

待定系数法：

首先求得a3=27,a2=9,a1=2

设一整数λ.我们可以先构造一个{(an+λ)/(2^n)}数列.

(an+λ)/(2^n) - (a(n-1)+λ)/(2^(n-1)) = (an+λ-2a(n-1)-2λ)/(2^n)

将an=2a(n-1)+2^n+1 代入上式,可得到

(an+λ)/(2^n) - (a(n-1)+λ)/(2^(n-1) = 1 + (1-λ)/(2^n)

故此时可令λ=1.

从而 (an+1)/(2^n) - (a(n-1)+1)/(2^(n-1) = 1

即数列{(an+λ)/(2^n)}是以1为公差,(a1+1)/2=3/2为首项的等差数列.

其通项为：(an+λ)/(2^n)=2/3+n-1=1/2+n 移项后可得：

an=(1/2+n)2^n -1

代入a1,a2,a3进行验算,亦符合本通式.

建议你在纸上写一写,可能这个看着并不是很清楚.

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