有关三角形角平分线的问题已知三角形ABC中 AD是角BAC的平分线 1.求证AB*AC-BD*CD等于AD的平方2.若角

有关三角形角平分线的问题

已知三角形ABC中 AD是角BAC的平分线

1.求证AB*AC-BD*CD等于AD的平方

2.若角BAC的对边为a 角B的对边为b 角C的对边为c 用a b c 来表示AD

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1.在△ABC中,延长AB到E,使BE＝BD,则AE=AB+BD．在AC边上取点F,使CF＝CD,则AF=AC－CD． 连结ED,FD．只要能证明△AED与△ADF相似就可以了．

在△AED与△ADF中,∠EAD=∠DAF=∠A/2；

∠CDF+∠CFD=180°-∠C=∠A+∠B,即∠CFD=(∠A+∠B)/2；

∴∠ADF=∠CFD-∠A/2=(∠A+∠B)/2-∠A/2=∠B/2=∠AED；

∴△AED∽△ADF,则AE/AD=AD/AF

即 AD²＝AE×AF＝(AB＋BD)(AC－CD)=AB*AC-AB*CD+AC*BD-BD*CD；

又AB/AC=BD/CD===>AC*BD-AB*CD=0.∴AB*AC-BD*CD=AD²

2.c/b=BD/CD===>(b+c)/b=(BD+CD)/CD=a/CD===>CD=ab/(b+c);同理:BD=ac/(b+c)

∴AD²=cb-a²bc/(b+c)²===>AD=√{bc[1-a²/(b+c)²]}

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