zfc可以通过以下公理来避免罗素悖论,用不到选择公理
(1)外延公理:A、B都是集合,若x∈A可以推出x∈B,则A包含于B;若A包含于B且B包含于A,则A=B
(2)正则公理:任何一个不空的集合A一定包含一个元素a,A的任何元素都不是a的元素
(3)替换公里:A是一个集合,如果对于每一个x∈A作为第一坐标,都有一个y作为第二坐标与x组成有序对,则y的全体是一个集合
假设大全集A是一个集合
让A中的元素都与A组成有序对,这样根据(3){A}是一个集合
根据定义{A}包含于A,又有A包含于{A},所以A={A}
这与(2)矛盾
(*{A}仅有的元素A(即{A})包含了A*)
zfc公理系统共有9个公理
除了上述3个还包括
空集公理:空集是集
无序对公理:x、y组成的无序对是集
方幂集公理:一个集的方幂集是集
合集公理:集族内集合的合集是集
无限公理:存在这样一个集合A,空集属于A;x属于A可以推出x并上{x}属于A
选择公理:.
这些公理对集合的定义做了比较精确地描述