已知a,b,c为正数,abc(a+b+c)=1.(1)求S=(a+b)(b+c)的最小值 (2)当S最小时,求c的最大值
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（1）

(a+c)(b+c)

=ab+ac+bc+c²

=ab+c(a+b+c)

=ab+1/(ab)

≥2√[ab*1/(ab)]=2

当且仅当ab=1/ab时等号成立

所以S=(a+b)(b+c)的最小值为2

（2）

ab=1/ab得ab=1,b=1/a

代入abc(a+b+c)=1得c(a+b+c)=1

c(a+b)+c²=1

c²+（a+1/a)c-1=0

根据求根公式得

c=[-(a+1/a)+√(a+1/a)²+4]/2

设a+1/a=t≥2则

c=[√(t²+4)-t]/2

c=2/[√(t²+4)+t]

可见,分母中t越大,则c越小

所以去t=a+1/a=2时c得到最大值

最大值为c=√2-1

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