高中数学必修1知识点
1、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.
2、元素与集合的关系： 、
3、数集的符号：自然数集 ；正整数集 或 ；整数集 ；有理数
集 ；实数集 .
4、集合与集合的关系： 、 、=
5、若集合中有 个元素,则它的子集个数为 ；真子集个数为 ；非空子集个数为 ；非空真子集个数为 .
6、空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
7、子集的性质：
（1） （即任何一个集合是它本身的子集）；
（2）若A B,B C,则A C；
（3）若A B,B C,则A C.
8、集合的基本运算
（1）并集：
（2）交集：
（3）补集：
（4）性质：① , ；② , ；
③ , , ,
, .
9、函数的三要素：定义域、值域和对应法则.
10、（一）求函数定义域的原则：
（1）若 为整式,则其定义域是 ；
（2）若 为分式,则其定义域是使分母不为0的实数集合；
（3）若 是二次根式（偶次根式）,则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；
（4）若 ,则其定义域是 ；
（5）若 ,则其定义域是 ；
（6）若 ,则其定义域是 .
（二）求函数值域的方法以及分段函数求值
（三）求函数的解析式
11、函数的单调性：
（1）增函数：设 （ 的定义域）,当 时,有 .
（2）减函数：设 （ 的定义域）,当 时,有 .
强调四点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数),有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数),有的函数根本没有单调区间(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数,一般不能认为函数在 上是增（或减）函数．
④定义的变形应用：如果证得对任意的 ,且 有 或者 ,能断定函数 在区间 上是增函数；如果证得对任意的 ,且 有 或者 ,能断定函数 在区间 上是减函数.
几点说明：函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上不是增函数；函数的单调区间是其定义域的子集；该区间内任意的两个实数,忽略任意取值这个条件,就不能保证函数是增函数（或减函数）；讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域.
（3）三类函数的单调性：
①一次函数
当 时,函数 在 上是增函数；当 时,函数 在 上是减函数.
②反比例函数
当 时,函数 在 上是减函数；
当 时,函数 在 上是增函数.
③二次函数
时,函数 在 上是增函数,在 上是减函数；
当 时,函数 在 上是减函数,在 上是增函数.
（4）证明函数单调性的方法步骤：（i）定义：设值、作差、变形、断号、定论．
即证明函数单调性的一般步骤是：⑴设 , 是给定区间内的任意两个值,且 < ；⑵作差 － ,并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断 － 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据 － 的符号确定其增减性.
（ii）导数
（5）如何求函数的单调区间
（6）复合函数的单调性：同增异减
（7）函数 在 上是减函数和函数 的单调递减区间是 的区别.
12、函数的奇偶性：
（1）奇函数： （2）偶函数：
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性
②由于任意 和 均要在定义域内,故奇（偶）函数的定义域一定关于原点对称．所以我们在判定函数的奇偶性时,首先要确定函数的定义域是否关于原点对称
③若奇函数的定义域中有零,则其函数图象必过原点,即 .
④函数的单调性是对区间而言,它是“局部”性质；而函数的奇偶性是对整个定义域而言的,它是“整体”性质
⑤偶函数在对称区间上的单调性相反,奇函数在对称区间上的单调性相同.
（3）证明和判断函数奇偶性的方法步骤：
利用定义判断函数奇偶性的一般步骤：
① 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称；
② ②确定 ；
③作出相应结论：
若 ；
若 ．
（4）奇偶函数图象的性质特点：偶函数的图象关于 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（5）函数 为奇函数可推得：
（6）函数 为偶函数可推得：
（7）两个函数的定义域的交集非空,则有奇函数与偶函数的乘积是奇函数,奇函数与奇函数的成绩是偶函数,偶函数与偶函数的乘积是偶函数.
13、函数的图象及其变换、对称性、双对称以及函数的周期性：
（1）函数的轴对称：
定理1：如果函数 满足 ,则函数 的图象关于直线 对称.
推论1：如果函数 满足 ,则函数 的图象关于直线 对称.
推论2：如果函数 满足 ,则函数 的图象关于直线 （y轴）对称.特别地,推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.
（2）函数的点对称：
定理2：如果函数 满足 ,则函数 的图象关于点 对称.
推论3：如果函数 满足 ,则函数 的图象关于点 对称.
推论4：如果函数 满足 ,则函数 的图象关于原点 对称.特别地,推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.
（3）函数周期性的性质：
定理3：若函数 在R上满足 ,且 （其中 ）,则函数 以 为周期.
定理4：若函数 在R上满足 ,且 （其中 ）,则函数 以 为周期.
定理5：若函数 在R上满足 ,且 （其中 ）,则函数 以 为周期.
14、指数幂的运算性质：
（1）若 ,则 ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；
（6） 的正分数指数幂为 , 的负分数指数幂没有意义.
（7） ；（8） ；
（9） .
15、对数函数的运算性质：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4）； ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8） ；
（9） ；
（10） ；
（11） ；
（12） .
16、基本初等函数的性质：
（1）指数函数 性质：
①定义域为 ； ②值域为 ；③过定点 ；
④单调性：当 时,函数 在 上是增函数；当 时,函数 在 上是减函数.
⑤指数函数的图象不经过第四象限,在第一象限内,当 时,图象离 轴越近的指数越大.
（2）对数函数 的性质：
①定义域为 ；②值域为 ；③过定点 ；
④单调性：当 时,函数 在 上是增函数；
当 时,函数 在 上是减函数.
⑤对数函数的图象 在第一象限内,图象离 轴越近的底数越大.
（3）幂函数 的性质：
①所有的幂函数在 都有定义,并且图象都通过点 ；
②如果 ,则幂函数的图象过原点,并且在区间 上是增函数；
③如果 ,则幂函数的图象在区间 上是减函数,在第一象限内,当 从右边趋向于原点时,图象在 轴右方无限地逼近 轴,当 趋向于 时,图象在 轴上方无限地逼近 轴；
④当 是奇数时,幂函数是奇函数,当 是偶数时,幂函数是偶函数.
（4）指数函数、对数函数的不等式和方程
（5）同底的指数函数和对数函数互为反函数
17、零点定理：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数 在区间 内有零点,即存在 ,使得 ,这个 也就是方程 的根.
18、给定精确度 ,用二分法求函数 零点近似值的步骤：
⑴确定一闭区间 ,验证 ,给定精确度 ；
⑵求区间 的中点 ；
⑶计算 ；
①若 ,则 就是函数的零点；
②若 ,则零点 ；
③若 ,则零点 ；
⑷判断是否达到精确度 ：即若 ,则得到零点的近似值 （或 ）；若 不成立,则重复上面的⑵至⑷,直到使 为止.
19、函数与不等式、方程之间的关系
20、三个二次之间的关系
一元二次函数图象与 轴交点的横坐标是函数作为方程的根；一元二次不等式解集的端点值是不等式作为方程的根.
