这个真的收敛吗,我怎么算是发散的?
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级数通项a[n] = 2^n·n!/n^n,有a[n+1]/a[n] = 2n^n/(n+1)^n = 2/(1+1/n)^n.

当n趋于无穷,a[n+1]/a[n]的极限为2/e < 1.

于是由D'Alembert判别法得到∑ 2^n·n!/n^n是收敛的.

介绍一下Stirling公式:

n!(n/e)^n·√(2πn),意思是lim{n→∞} n!/((n/e)^n·√(2πn)) = 1,即二者是等价无穷大.

遇到含有阶乘的极限可以先用它来进行估计,找到证明方向.

例如本题可直接看到通项 (2/e)^n·√(2πn).

由于(2/e)^n收敛很快,可判断级数收敛(或者也用D'Alembert判别法).

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