四棱锥S-ABCD中,平面SAC与底面ABCD垂直,侧棱SA、SB、SC与底面成角均为45°,AD‖BC,且AB=BC=

四棱锥S-ABCD中,平面SAC与底面ABCD垂直,侧棱SA、SB、SC与底面成角均为45°,AD‖BC,且AB=BC=2AD

求证,四边形ABCD是直角梯形

求异面直线SB与CD所成角的余弦值

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（1）作SO垂直于AC,垂足为O.

∵平面SAC⊥底面ABCD,SO在平面SAC内,平面SAC∩底面ABCD=AC

∴SO⊥底面ABCD,

又侧棱SA、SB、SC与底面成角均为45°,

∴∠SOA=∠SOB=∠SOC=45º,

△SOA≌△SOB≌△SOC,

OA=OB=OC

∴△ABC是以∠B为直角的直角三角形.

又AD‖BC,BC=2AD,

∴四边形ABCD是直角梯形.

（2）延长DA至E,使得AE=AD,连结SE,BE,OE,OD,

设AD=1,

在四边形EBCD中,EA=AD=(1/2)BC,AB⊥BC,ED‖BC,

在Rt△SOB中,∠SBO=45º,

由平面几何知识可知,BE=√5,SB=2,OE=√5,SB=√7,

由余弦定理可得,cos∠SBE=(√5）/10,

易知,EB‖DC,

∴异面直线SB与CD所成角就是直线SB与BE所成角即∠SBE,

因此,异面直线SB与CD所成角的余弦值为(√5）/10.

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