已知数列{an}是非常值数列的等差数列，Sn为其前n项和，S5=25，且a1，a3，a13成等比数列；
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解题思路：（1）利用等差数列的通项公式表示出相应的项，待定系数法设出首项和公差，根据S5=25，a1，a3，a13成等比数列列出关于首项和公差的方程组，通过求解该方程组求出首项和公差，进而写出该数列的通项公式；
（2）根据数列{an}的通项公式写出数列{bn}的通项公式，
令
A
n
＝
T
2n
−
T
n
＝
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
，利用作差法，判断数列{An}的单调性，从而求得
T2n-Tn≥t对一切正整数n恒成立时实数t的范围．
（Ⅰ）设{an}的公差为d，S5＝
a1+a5
2•5＝
2•a3
2•5＝a3•5＝25，
∴a3=5．
a1，a3，a13成等比数列．则25=（5-2d）（5+10d），解得d=2，d=0（舍）．
an=a3+（n-3）d=5+（n-3）•2=2n-1．
数列{an}的通项公式an=2n-1，n∈N*．
（Ⅱ）bn＝
2
an+1＝
2
2n−1+1＝
1
n，Tn＝1+
1
2+
1
3+…+
1
n，
令An＝T2n−Tn＝
1
n+1+
1
n+2+…+
1
2n，
则An+1−An＝(
1
n+2+
1
n+3+…+
1
2n+2)−(
1
n+1+
1
n+2+…+
1
2n)
=−
1
n+1+
1
2n+1+
1
2n+2＝−
1
2n+2+
1
2n+1＞0，∴An≥A1＝
1
2．
实数t的取值范围为：t≤
1
2
点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合；数列与不等式的综合．
考点点评： 本题考查待定系数法，考查学生对等差数列通项公式的理解能力，以及利用作差法判定数列的单调性，体现了数列的函数特性，同时考查了运算能力，属难题．
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