一道积分的题!求高手!急!题干大意是用二重积分里的换序 算图中的积分…到底是设个y还怎样…表示脑内完全混乱了 作业要交啊
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【解一、二重积分交换累次积分次序：】
∫[a,b] e^(-xy) dy
= -1/x∫[a,b] e^(-xy) d(-xy)
= -1/x { e^(-xy)|[a,b] }
= [e^(-ax)-e^(-bx)]/x
∫[0,+∞] [e^(-ax)-e^(-bx)]/x dx
=∫[0,+∞] dx ∫[a,b] e^(-xy) dy
=∫[a,b] dy∫[0,+∞] e^(-xy) dx
=∫[a,b] dy { -1/y * e^(-xy)[0,+∞] }
=∫[a,b] 1/y dy
= lny |[a,b]
= ln(b/a)
【解二、Froullani型积分通用解法：】
∫[ε,M] [e^(-ax)-e^(-bx)]/x dx
=∫[ε,M] e^(-ax)/x dx - ∫[ε,M] e^(-bx)/x dx
令：ax = t 令：bx=t
=∫[aε,aM] e^(-t)/t dt - ∫[bε,bM] e^(-t)/t dt
=∫[aε,bε] e^(-t)/t dt - ∫[aM,bM] e^(-t)/t dt
∵ e^(-t),1/t 可积,1/t恒正 ,∴由积分中值定理：
=e^(-ξ)∫[aε,bε] 1/t dt - e^(-η)∫[aM,bM] 1/t dt
其中：ξ∈（aε,bε）,η∈（aM,bM） ,0+∞] ∫[ε,M] [e^(-ax)-e^(-bx)]/x dx
=lim[ε->0,M->+∞] {e^(-ξ) - e^(-η)}ln[b/a]
其中：ξ∈（aε,bε）,η∈（aM,bM） ,0
