如果等腰三角形腰上的中线与底边的中线相等,这个等腰三角形是等边三角形吗?
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都是等边三角形.证明如下：
第一个问题：
△ABC中,AB＝AC,D、E分别是BC、AC的中点,且AD＝BE,求证：△ABC是等边三角形.
令AD与BE的交点为O,延长CO交AC于G.
∵O是△ABC的重心,∴AO＝（2/3）AD,BO＝（2/3）BE,又AD＝BE,∴AO＝BO,
∴点O在AB的垂直平分线上,显然有：AF＝BF,∴CF⊥AB,
∴点C在AB的垂直平分线上,∴AC＝BC,又AB＝AC,∴AB＝AC＝BC,
即△ABC是等边三角形.
第二个问题：
△ABC中,AB＝AC,AD、BE是角平分线,且AD＝BE,求证：△ABC是等边三角形.
下面利用反证法证明：
假设∠CAB、∠ABC不相等,不失一般性地假设∠CAB＞∠ABC.
令AD与BE交于点O.
∵∠CAD＝∠CAB/2,∠CBE＝∠ABC/2,∴∠CAD＞∠CBE.
这样就一定能在OE上找到一点F,使∠CBE＝∠DAF,∴A、B、D、F共圆.
考虑到∠BAD＝∠CAB/2,∠ABE＝∠ABC/2,结合假设的∠CAB＞∠ABC,
得：∠BAD＞∠ABE,再结合作出的∠CBE＝∠DAF,得：∠BAD＋∠DAF＞∠ABE＋∠CBE,
即：∠BAF＞∠ABD,而由证得的A、B、D、F共圆,得：BF＞AD.
显然,BE＞BF,∴BE＞AD,但AD＝BE,∴假设的∠CAB、∠ABC不等是错误的.
∴只能是∠CAB＝∠ABC,得：BC＝AC,又已知AB＝AC,∴△ABC是等边三角形.
