解题思路：（1）将a=0代入后对函数f（x）进行求导，根据导函数的正负判断函数的单调性和极值从而可求出最值．
（2）对函数f（x）进行求导可得到
f′(x)＝
4−2ax−4
x
2
(
x
2
+1)
2
，分母（x2+1）2＞0恒成立，令g（x）=4-2ax-4x2则与x轴必有两个交点，再根据函数单调性可确定f（x）的最小值应在端点取得，最大值在x=x1处取得，然后对两个端点进行讨论即可确定答案．
（3）当
f′(2)＝−
12
25
时可求出a的值，根据
f(2)＝f(
1
2
)＝
8
5
，再由函数的单调性可解题．
（1）当a=0时，f′(x)＝
4−4x2
(x2+1)2，于是有
又f（-1）=-2，f（1）=2，且x＞0时，f（x）＞0；x＜0时，f（x）＜0；
所以f（x）在（-∞，+∞）上有最大值是f（1）=2；有最小值是f（-1）=-2．
（2）因为f′(x)＝
4−2ax−4x2
(x2+1)2，而（x2+1）2＞0恒成立，
考察函数g（x）=4-2ax-4x2与x轴必有两个交点设为（x1，0）、（x2，0）且x1x2＜0，不妨设x1＞0，当2＞x1＞0时有
所以f（x）在[0，2]上最小值应在端点取得，最大值在x=x1处取得，
当f(0)＝
12
5时，a＝
12
5，此时f(2)＝
52
25＜
12
5不合题意；
当f(2)＝
12
5时，a=4，此时f(0)＝4＞
12
5符合题意，
所以a=4代入g（x）=4-2ax-4x2可解得x1＝
2−1，符合2＞x1＞0．
从而得到f（x）在[0，2]上的最大值为2
2+2．
当x1≥2时，f（x）在[0，2]上单调递增，
所以f(0)＝
12
5，a＝
12
5，
代入g（x）=4-2ax-4x2解得x1＝
34−3
5＜2不合x1≥2．舍去，
综上f（x）在[0，2]的最大值为2
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、利用导数求函数的最值、根据单调性解不等式等问题．考查学生的综合运用能力．
