设e1,e2分别是具有公共交点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率,P是一个公共点,且线段PF1和PF2垂直
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很简单,只要将题目的条件都转化为代数式然后进化化简即得结果

设椭圆的长半轴是a1,双曲线的实半轴是a2,它们的半焦距是c

并设PF1=m,PF2=n,m>n,根据椭圆的和双曲线的定义可得

m+n=2a1

m-n=2a2

解得

m=a1+a2,n=a1-a2

又PF1⊥PF2,由勾股定理得

PF1²+PF2²=F1F2²

(a1+a2)²+(a1-a2)²=(2c)²

化简可得

a1²+a2²=2c²

离心率e1=c/a1,e2=c/a2

(e1²+e2²)/(e1e2)²

=[(c/a1)²+(c/a2)²]/[(c/a1)(c/a2)]²

=[(c²/a1²)+(c²/a2)²]/[c²/(a1a2)]²

=[c²(a1²+a2²)/(a1a2)²]/[c⁴/(a1a2)²]

=c²×2c²/c⁴

=2