椭圆标准式(a>b>0)与直线x+y-1=0交与P.Q俩点,向量0P垂直向量0Q求证1/a2+1/b2等于
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楼主是想证(1/a^ + 1/b^)=2吧?
设P,Q的两点坐标为P(x1,y1),Q(x2,y2)
将椭圆标准式x^/a^ +y^/b^ =1 与直线方程x+y-1=0 联立,可得出关于x的一元二次方程：
(a^+b^)x^-2a^x+(a^-a^b^)=0
此方程的两根显然就是是直线与椭圆两个交点的横坐标x1,x2,于是由韦达定理有：
x1+x2=2a^/(a^+b^) ①
x1*x2=(a^-a^b^)/(a^+b^) ②
因为P,Q都在直线x+y-1=0上,可用x1,x2分别表示出其纵坐标：
y1=1-x1
y2=1-x2
于是有y1*y2=(1-x1)*(1-x2)=1-(x1+x2)+x1*x2
将①,②代入,可得：
y1*y2=(b^-a^b^)/(a^+b^) ③
向量OP与向量OQ可根据P(x1,y1),Q(x2,y2)以及O（0,0）的坐标表示为：
向量OP={x1,y1}
向量OQ={x2,y2}
根据向量OP⊥向量OQ的已知条件,可得出：
向量OP (点乘) 向量OQ=0
而两者点乘的坐标表达式显然为：
x1*x2+y1*y2
于是有：
x1*x1+y1*y2=0
将②,③式代入上式：
可得到a^+b^=2a^b^
两边同时除以a^b^,最后就得到：
1/a^ + 1/b^ = 2
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