已知a＞2，求证：log（a-1）a＞loga（a - 已解决

已知a＞2，求证：log（a-1）a＞loga（a+1）

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解题思路：（法一）利用作差法：只要证明

(a−1)

a−lo

(a+1)＝

log

(a−1)

−lo

(a+1)

1−(

log

(a−1))•(

log

(a+1))

log

(a−1)

＞0即可

（法二）作商法：只要证明

log

(a−1)

log

(a+1)

＝

log

(a−1)

log

(a−1)

＝

(

log

(a−1))•(

log

(a+1))

＞1即可

证明（法一）：∵log(a−1)a−loga(a+1)＝

loga(a−1)−loga(a+1)

1−(loga(a−1))•(loga(a+1))

loga(a−1)．

因为a＞2，所以，log_a（a-1）＞0，log_a（a+1）＞0，

所以，log_a（a-1）•log_a（a+1）≤[

loga(a−1)+loga(a+1)

2]2

[loga(a2−1)]2

4＜

[logaa2]2

4＝1

所以，log_（a-1）a-log_a（a+1）＞0，命题得证．

证明2：因为a＞2，所以，log_a（a-1）＞0，log_a（a+1）＞0，

所以，

log(a−1)a

loga(a+1)＝

loga(a−1)

loga(a−1)＝

(loga(a−1))•(loga(a+1))

由法1可知：log_a（a-1）•log_a（a+1）≤[

loga(a−1)+loga(a+1)

2]2

[loga(a2−1)]2

4＜

[logaa2]2

4＝1

∴

loga(a−1)•loga(a+1)＞1．

故命题得证

点评：

本题考点：对数函数的单调性与特殊点．

考点点评：本题主要考查了不等式的证明方法的常用方法：作差证明差大于0，作商证明商大于1．

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