1596的n次方加1000的n次方减270的n次方减320的n次方除以2006能被整除吗?
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由于2006=2*17*59,只要证明1596^n+1000^n-270^n-320^n分别能被2、17和59整除即可,其中被2整除很容易利用奇偶性证出,就不讨论了,对被17和59整除的证法类似,以被17整除为例：
1596=94*17-2
1000=59*17-3
270=16*17-2
320=19*17-3
先看1596^n,1596^n=(94*17-2)^n,展开后不带因数17的项只有(-2)^n一项,同样1000^n不带因数17的项只有(-3)^n,270^n为(-2)^n,320^n为 (-3)^n,所以1596^n+1000^n-270^n-320^n除以17的余数与(-2)^n+(-3)^n-(-2)^n-(-3)^n除以17的余数相同,(-2)^n+(-3)^n-(-2)^n-(-3)^n＝ 0,所以1596^n+1000^n-270^n-320^n能被17整除.
同理可证1596^n+1000^n-270^n-320^n能被59整除.
所以1596^n+1000^n-270^n-320^n能被2006整除.
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