解题思路：（1）取函数图象上的三个不同点，通过描点、连线进行作图即可．
（2）由于Q、O关于新抛物线的对称轴对称，即点P在线段OQ的垂直平分线上，首先能判断出的是△OPQ一定是等腰三角形，若∠OPQ=90°，那么该三角形一定是等腰直角三角形，若设P（a、a），那么Q（2a，0），利用待定系数法可确定该函数的解析式，进一步可判断出平移方案．
（3）首先求出P、A、B的坐标，则△MOA、△POB的面积可知，根据三角形的面积公式即可得到M点的纵坐标，代入（2）的抛物线解析式中，可得到M点的完整坐标（注意M可能在x轴的上方和下方）．
（1）取（0，0）、（1，-2）、（-1，-2）三点，作图如下：
（2）由题意知：O、Q关于平移后的抛物线的对称轴对称，所以顶点P在OQ的垂直平分线上，即△OPQ是等腰三角形；
若∠OPQ=90°，那么△OPQ是等腰三角形，若设P（a，a），则Q（2a，0）；
设抛物线的解析式为：y=-2（x-a）2+a，由于抛物线经过Q（2a，0），则：
-2a2+a=0，得：a=[1/2]或a=0；
∴抛物线的解析式为：y=-2（x-[1/2]）2+[1/2]；
平移方案：先将抛物线y=-2x2向右平移[1/2]个单位，再向上平移[1/2]个单位．
（3）由题意知：S△MOA=2S△POB，且OP=OA=OB；
S△OPB=[1/2]OB•|yP|=[1/2]×OB×[1/2]；
S△MOA=[1/2]OA•|yM|=[1/2]×OA×|yM|；
∴|yM|=2|yP|=1，
即M点纵坐标为：-1或1（利用P点坐标得出1不合题意舍去）．
由（2）得抛物线的解析式为：y=-2x2+2x，当y=-1时：
-2x2+2x=-1，
解得：x1=
1+
3
2，x2=
1−
3
2；
∴存在符合条件的M点，且坐标为（
1+
3
2，-1）（
1−
3
2，-1）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题主要考查了函数解析式的确定及图象的画法、函数图象的平移、图形面积的解法等基础知识，利用数形结合得出是解题关键．
