抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为P,与x轴交于E、F两点（E在F的左侧）,△PEF的三内角的对边分别为p、m

抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为P,与x轴交于E、F两点（E在F的左侧）,△PEF的三内角的对边分别为p、m、n,若关于x的一元二次方程（p－m）x2＋2nx＋（p＋m）＝0有两个相等的实数根.

⑴试判断△PEF的形状；

⑵当顶点P的坐标为（2,－1）时,求抛物线的解析式；

⑶平行于x轴的直线与（2）中的抛物线交于A、B两点,以AB为直径的圆恰好与x轴相切,求该圆的圆心坐标；

⑷若（2）中的抛物线与y轴交于点C,在x轴上是否存在点M,使得△MEC为等腰三角形,若存在,请直接写出M点的坐标；若不存在,请说明理由.

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2个回答

1.由P为函数顶点,函数与x轴交于E、F两点,知△PEF为等腰三角形,角P为顶角

方程有两个相同实根,则(2n)^2-4(p-m)(p+m)=0,且p≠m

整理得 p^2=m^2+n^2 ,知△PEF为直角三角形,角P为直角

所以△PEF为等腰直角三角形

2.顶点在x轴下方,且与x轴有交点,知函数开口向上

点P到x轴距离为1,根据等腰直角三角形性质与二次函数对称性,知E,F坐标分别为（1,0）（3,0）

设抛物线为y=a(x-1)(x-3),将顶点（2,-1）带入,解得y=x^2-4x+3

3.根据题意,知圆心在函数的对称轴x=2上,设圆心为（2,b）,则半径为b,

A、B为y=b与函数的交点,即为x^2-4x+3-b=0的两根

AB长度为两根差,AB=√Δ/a=√[16+4(b-3)]=2b,且16+4(b-3)>0

解得b=（1±√5）/2

所以,O为（2,（1±√5）/2）

4.C为（0,3）,设M为（m,0）,分3种情况,

M、E均在x轴上,直线与直线外一点恒能形成三角形

（1）CE=ME

CE=√10,易知m=1±√10,即M为（1±√10,0）

（2）CE=CM

√（m^2+9）=√10,解得x=±1（舍正）,即M为（-1,0）

（3）CM=ME

m^2+9=(m-1)^2,解得m=-4,即M为（-4,0）

综上所述,存在M点,分别为（1±√10,0）（-1,0）（-4,0）

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