求用牛顿万有引力定律推出开普勒第三定律,要求是椭圆轨道下.
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要运用到微积分的一点思想 注意体会
利用微元,矢径R在很小的Δt时间内,扫过面积为ΔS,矢径R与椭圆该点的切线方向夹角为α,椭圆的弧长为ΔR.在Δt→0时,扫过面积可以看作为三角形,
ΔS=1/2*R*ΔR*sinα
面积速度为 ΔS/Δt=1/2R*ΔR*sinα/Δt=1/2*Rv*sinα
各行星绕太阳运行周期为T
设椭圆半长轴为a、半短轴为b、太阳到椭圆中心的距离为c
则行星绕太阳运动的周期T=πab/(1/2*r*v*sinα).
选近日点A和远日点B来研究,由ΔS相等可得1/2*vA*RA=1/2*rB*RB
从近日点运动到远日点的过程中,根据机械能守恒定律得：
1/2*m*vA^2-GMm/rA=1/2*mvB^2-GMm/rB
得：vA^2=2GMrb/（（rA+rB）/rA）
由几何关系得：rA=a-c rB=a+c a^2=b^2+c^2
所以 vA=√（GM/a）*√（rB/rA）
△S/△t=1/2*rA*vA=1/2*√（GM/a）*√（rA*rB）=b/2*√（GM/a）
T=π*ab/(△S/△t)=2πa*√（a/GM）
整理得T^2/a^3=4π^2/GM
