解题思路：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，先证明△BCD∽△CAE，再根据相似三角形对应边成比例即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）先运用配方法将y=-[1/4]x2+[1/2]x+[3/4]写成顶点式，再根据自变量x的取值范围即可求解；
（3）欲使四边形ABEF的周长最小，由于线段AB与EF是定长，所以只需BE+AF最小．为此，先确定点E、F的位置：过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则点E、F的位置确定．再根据待定系数法求出直线A′B′的解析式，然后令y=0，即可求出点E的横坐标，进而得出点E的坐标．
（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于点E．
在△BCD与△CAE中，
∵∠BCD=∠CAE=90°-∠ACE，∠BDC=∠CEA=90°，
∴△BCD∽△CAE，
∴BD：CE=CD：AE，
∵A（3，4），B（-1，y），C（x，0）且-1＜x＜3，
∴y：（3-x）=（x+1）：4，
∴y=-
1
4x2+
1
2x+
3
4（-1＜x＜3）；
（2）y有最大值．理由如下：
∵y=-
1
4x2+
1
2x+
3
4=-
1
4（x2-2x）+
3
4=-
1
4（x-1）2+1，
又∵-1＜x＜3，
∴当x=1时，y有最大值1；
（3）如图2，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小．
∵A（3，4），∴A′（2，4），
∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）．
设直线A′B′的解析式为y=kx+b，
则
2k+b＝4
−k+b＝−1，
解得
k＝
5
3
b＝
2
3．
∴直线A′B′的解析式为y=
5
3x+
2
3，
当y=0时，
5
3x+
2
3=0，解得x=-
2
5．
故线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（-
2
5，0）．
点评：
本题考点： 一次函数综合题．
考点点评： 本题考查了相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，综合性较强，有一定难度．（1）中通过作辅助线证明△BCD∽△CAE是解题的关键，（3）中根据“两点之间，线段最短”确定点E、F的位置是关键，也是难点．
