如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F，
3个回答
解题思路：（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．
（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FH长．
（1）DF与⊙O相切．理由如下：
连接OD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DOB=60°，
∴∠DOB=∠C=60°，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴DO⊥DF，
∴DF与⊙O相切；
（2）连接CD．
∵CB是⊙O直径，
∴DC⊥AB．
又∵AC=CB=AB，
∴D是AB中点，
∴AD=[1/2AB＝
1
2×8＝4．
在直角三角形ADF中，
∠A=60°，∠ADF=30°，∠AFD=90°，
∴AF＝
1
2AD＝
1
2×4＝2，
∴FC=AC-AF=8-2=6．
∵FH⊥BC，
∴∠FHC=90°．
∵∠C=60°，
∴∠HFC=30°，
∴HC＝
1
2FC＝
1
2×6＝3，
∴FH=
FC2−HC2]=3
3．
点评：
本题考点： 切线的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；圆周角定理．
考点点评： 本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理和圆周角定理等知识．判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．
相关问题
