设A为n阶实对称矩阵，证明：秩（A）=n的充分必要条件为存在一个n阶实矩阵B，使AB+BTA是正定矩阵．
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解题思路：充分性：利用反证法进行证明；必要性：证明AB+BTA的特征值均大于0．
“必要性”（⇐）
利用反证法进行证明．
反设：r（A）＜n，则|A|=0．
于是λ=0是A的特征值，
假设相应的特征向量为x，即：Ax=0（x≠0），
所以：xTAT=0．
从而：xT（AB+BTA）x=xTABx+xTBTAx=0，
与AB+BTA是正定矩阵矛盾，故假设不成立．
所以，秩（A）=n．
“充分性”（⇒）
因为 r（A）=n，
所以A的特征值λ1，λ2，…，λn全不为0．
取矩阵B=A，则：AB+BTA=AA+AA=2A2，
它的特征值为：2λ12，2λ22，…，2λn2全部为正，
所以AB+BTA是正定矩阵．
点评：
本题考点： 判断正定的充要条件；实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．
考点点评： 本题考查了判断正定的充要条件．常用的判断实对称矩阵A正定的充要条件有两个：（1）正定矩阵的定义，即对于任意的非零向量x，都有xTAx＞0；（2）其特征值均为正．该题的证明中利用了上述两个充要条件．
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