z=（xy）/(x^2+y^2) 其中x^2+y^2不为o z=o 其中x^2+y^2=0 问在（0,0）点处z是否连续

z=（xy）/(x^2+y^2) 其中x^2+y^2不为o z=o 其中x^2+y^2=0 问在（0,0）点处z是否连续? 偏导数是否存在?

是否可微?

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1个回答

1.

因为

lim(x--->0,y---->0)（xy）/(x^2+y^2)极限不存在

如取y=kx,可得lim(y=kx,x--->0)（xy）/(x^2+y^2)=k/(1+k²)随着k的不同极限不同,所以不存在.

从而

函数不连续.（连续的定义是,这一点的极限=这一点的函数值,极限根本不存在,所以不连续）

2.

z对x的偏导数zx(0,0)=lim(x--->0)[z(x,0)-z(0,0)]/(x-0)=lim(x--->0)[0-0]/(x-0)=0

同理z对y的偏导数zy(0,0)=0,所以偏导数存在.

3.

lim(Δx--->0,Δy---->0)(Δz-dz)/ρ

=lim(Δx--->0,Δy---->0)(（ΔxΔy）/(Δx^2+Δy^2))/√(Δx^2+Δy^2)

=lim(Δx--->0,Δy---->0)(（ΔxΔy）/(Δx^2+Δy^2))^(3/2)

令Δx=ρcost,Δy=ρsint

原式=lim(ρ--->0)ρ²costsint/ρ³=lim(ρ--->0)costsint/ρ

极限不存在

所以不可微.

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