解题思路：分离参数得x+[3/x]+[1

x

2

≥-3a．令g（x）=x+

3/x]+

1

x

2

，则问题转化为g（x）_min≥-3a．利用导数可求得g（x）_min．

x∈[2，∞），f（x）≥0，即x³+3ax²+3x+1≥0，即x+[3/x]+[1

x2≥-3a．

令g（x）=x+

3/x]+[1

x2，则g'（x）=1-

3

x2-

2

x3=

x3−3x−2

x3，

下面我们证g'（x）≥0在x∈[2，∞）恒成立，也即x³-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立．

令h（x）=x³-3x-2，则h'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），易知h'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，

∴h（x）在x∈[2，∞）上为增函数，∴h（x）≥h（2）=0，也就是x³-3x-2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，

∴g'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，g（x）在x∈[2，∞）为增函数，

∴g（x）的最小值为g（2）=

15/4]，

-3a≤g（2）=[15/4]，

解得a≥-[5/4]．

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 该题考查利用导数研究函数的最值，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．

1年前

5

lqij

幼苗

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已知函数f(x)=x³+3ax²+3x+1 ，若x∈[2，+∞）时f(x)≧0，求a的取值范围

f '(x)=3x²+6ax+3=3(x²+2ax+1)

按题意，要求f '(2)=3(4+4a+1)=3(4a+5)≧0，即a≧-5/4.

即-5/4≦a

1年前

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