易知椭圆为x^2/3+y^2/2=1
显然椭圆包含于圆
令P(m,n),过P可作椭圆的两条切线
要使两条切线的斜率均存在
则m≠±√3
当n=0时
即P在圆与x轴的交点(±√5,0)上
考虑对称性,仅讨论P((√5,0)
由对称性易知过P的两条切线形成的切点弦垂直于x轴
同时两条切线关于x轴对称,令两条切线斜率为k1、k2
则有k1+k2=0,即k1=-k2
由点斜式令过P的切线方程为y=k(x-√5)
代入椭圆方程有(2+3k^2)x^2-6√5k^2x+15k^2-6=0
因切线与椭圆相切,则⊿=0
即有180k^4-4(15k^2-6)(2+3k^2)=0
解得k^2=1
于是k1=1,k2=-1
所以k1*k2=-1
当n≠0且m≠±√3时
即过P的两条切线的斜率均存在
且两条切线形成的切点弦斜率也存在
令两切点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)
易知过P(m,n)的椭圆的切点弦方程为2mx+3ny=6
代入椭圆方程消去y有(2m^2+3n^2)x^2-12mx+18-9n^2=0
由韦达定理有
x1+x2=12m/(2m^2+3n^2)
x1x2=(18-9n^2)/(2m^2+3n^2)
因A、B均在切点弦上,则有
2mx1+3ny1=6,即3ny1=6-2mx1
2mx2+3ny2=6,即3ny2=6-2mx2
两式相加得y1+y2=[12-2m(x1+x2)]/3n=12n/(2m^2+3n^2)
两式相乘得y1y2=[36-12m(x1+x2)+4m^2x1x2]/9n^2=(12-4m^2)/(2m^2+3n^2)
令切线PA、PB斜率分别为k1、k2
则由斜率公式易知
k1*k2
=(y1-n)/(x1-m)*(y2-n)/(x2-m)
=[y1y2-n(y1+y2)+n^2]/[x1x2-m(x1+x2)+m^2]
=[3n^4+2m^2n^2-4m^2-12n^2+12]/[2m^2+3m^2n^2-12m^2-9n^2+18]
注意到P(m,n)在圆上
则有m^2+n^2=5
即m^2=5-n^2,代入上式得
k1*k2=(n^4+2n^2-8)/(-n^4-2n^2+8)=-1
综上知,过圆上任意一点作椭圆两条切线,若切线都存在斜率,则斜率之积为定值-1
