设抛物线y^2=4px(p>0)的焦点弦AB被焦点分成长为m,n两部分,求证:(1/m)+(1/n)为定值.
2个回答
焦点(p,0)
若AB斜率不存在,则AB是x=p
则y^2=4p^2
y=2p,-2p
所以m=2p,n=|-2p|=2p
则1/m+1/n=1/p
若斜率存在
则是y-0=k(x-p)
y=kx-kp
代入
k^2x^2-(4p+2k^2p)x+k^2p^2=0
x1+x2=(4p+2k^2p)/k^2
x1x2=p^2
准线x=-p
由抛物线定义,抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离
所以m=AF=A到准线距离=x1-(-p)=x1+p
同理,n=x2+p
m+n=x1+x2+2p=(4p+2k^2p)/k^2+2p=(4p+4k^2p)/k^2
mn=(x1+p)(x2+p)=x1x2+p(x1+x2)+p^2=(4p^2+4p^2k^2)/k^2
所以1/m+1/n=(m+n)/mn
=(4p+4k^2p)/(4p^2+4p^2k^2)
=1/p
斜率不存在时也等于1/p
所以1/m+1/n=1/p,是个定值
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