设函数，其中常数a＞1，f（x）=[1/3]x3-（1+a）x2+4ax+24a
1个回答
解题思路：（1）先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可确定函数的单调性．
（2）先将问题转化为求函数在x≥0时的最小值问题，再结合（1）中的单调性可确定f（x）在x=2a或x=0处取得最小值，求出最小值，即可得到a的范围．
（1）f'（x）=x2-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a）
由a＞1知，当x＜2时，f'（x）＞0，
故f（x）在区间（-∞，2）是增函数；
当2＜x＜2a时，f'（x）＜0，
故f（x）在区间（2，2a）是减函数；
当x＞2a时，f'（x）＞0，
故f（x）在区间（2a，+∞）是增函数．
综上，当a＞1时，f（x）在区间（-∞，2）和（2a，+∞）是增函数，
在区间（2，2a）是减函数．
（2）由（1）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．
f(2a)＝
1
3(2a)3−(1+a)(2a)2+4a•2a+24a=−
4
3a3+4a2+24a，f（0）=24a
由假设知
a＞1
f(2a)＞0
f(0)＞0
即
a＞1
−
4
3a(a+3)(a−6)＞0
24a＞0.解得1＜a＜6
故a的取值范围是（1，6）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性．
相关问题
