已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）2+（y+1）2=12．

已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）2+（y+1）2=12．

（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．

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解题思路：（1）联立直线l与圆C方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式恒大于0，得到不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

（2）设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），表示出直线l被圆C截得的弦长，设t=

4k+3

1+

k

2

，讨论出t的最大值，即可确定出弦长的最小值．

（1）由

y=kx+1

(x-1)2+(y+1)2=12，消去y得到（k2+1）x2-（2-4k）x-7=0，

∵△=（2-4k）2+28k2+28>0，

∴不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

（2）设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），

则直线l被圆C截得的弦长|AB|=

1+k2|x1-x2|=2

8-4k+11k2

1+k2=2

11-

4k+3

1+k2，

令t=[4k+3

1+k2，则有tk2-4k+（t-3）=0，

当t=0时，k=-

3/4]；

当t≠0时，由k∈R，得到△=16-4t（t-3）≥0，

解得：-1≤t≤4，且t≠0，

则t=

4k+3

1+k2的最大值为4，此时|AB|最小值为2

7，

则直线l被圆C截得的最短弦长为2

7．

点评：

本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线与圆的交点，两点间的距离公式，根的判别式，以及一元二次方程的性质，是一道综合性较强的试题．

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