证明:若m和n互素,则2^m-1和2^n-1也互素
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首先你得知道,若a,b是正整数,那么存在正整数c,d,使得(a,b)=ac-bd.其中(a,b)表示a b的最大公约数

利用这个结论,那么存在正整数c,d,使得(2m,n)=2m*c-n*d

现在假设题目不成立,即存在质数p使得p|(2^m+1)和(2^n-1).显然p是奇数

那么p|(2^(2mc)-1)和(2^(nd)-1).所以p|这俩的差=2^(nd)(2^(2mc-nd)-1)

于是p|(2^(2mc-nd)-1).即p|2^((2m,n)-1)

但由n是奇数知(2m,n)=(m,n).所以上式就是p|2^((m,n)-1)

又(m,n)|m.所以p|(2^m-1).这与p|(2^m+1)矛盾!

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