已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为 1 2 ，点P是椭圆上异于顶点的
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（1）∵2a=4，
c
a =
1
2 ，∴a=2，c=1，b=
3 ．
∴椭圆的方程为
x 2
4 +
y 2
3 =1．
（2）设点P（x 0，y 0）（x 0≠0，y 0≠0），
直线l的方程为y-y 0=k（x-x 0），代入
x 2
4 +
y 2
3 =1，
整理，得（3+4k 2）x 2+8k（y 0-kx 0）x+4（y 0-kx 0） 2-12=0．
∵x=x 0是方程的两个相等实根，
∴2x 0=-
8k( y 0 -k x 0 )
3+4 k 2 ，解得k=-
3 x 0
4 y 0 ．
∴直线l的方程为y-y 0=-
3 x 0
4 y 0 （x-x 0）．
令x=0，得点A的坐标为（0，
4 y 2 0 +3 x 2 0
4 y 0 ）．
又∵
x 0 2
4 +
y 0 2
3 =1，∴4y+3x0=12．
∴点A的坐标为（0，
3
y 0 ）．
又直线l′的方程为y-y 0=
4 y 0
3 x 0 （x-x 0），
令x=0，得点B的坐标为（0，-
y 0
3 ）．
∴以AB为直径的圆的方程为x•x+（y-
3
y 0 ）•（y+
y 0
3 ）=0．整理，得x 2+y 2+（
y 0
3 -
3
y 0 ）y-1=0．
令y=0，得x=±1，
∴以AB为直径的圆恒过定点（1，0）和（-1，0）．
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