如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．

（Ⅰ）求证：直线A1D⊥B1C1；

（Ⅱ）判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．

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解题思路：（I）利用直三棱柱的性质即可得出四边形BCC1B1是平行四边形，AA1⊥面ABC，∴BC∥B1C1，AA1⊥BC，再利用等边三角形ABC的性质可得AD⊥BC，利用线面垂直的判定和性质定理即可证明；（II）利用平行四边形的性质、三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可得出；

证明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，∴AA1⊥BC，

在等边△ABC中，D是BC中点，∴AD⊥BC

∵在平面A1AD中，A1A∩AD=A，∴BC⊥面A1AD

又∵A1D⊂面A1AD，∴A1D⊥BC

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，∴B1C1∥BC

∴A1D⊥B1C1

（Ⅱ） 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形，

在平行四边形ACC1A1中联结A1C，交于AC1点O，连接DO．

故O为A1C中点．

在三角形A1CB中，D 为BC中点，O为A1C中点，∴DO∥A1B．

因为DO⊂平面DAC1，A1B⊄平面DAC1，∴A1B∥面ADC1

∴A1B与面ADC1平行．

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．

考点点评： 熟练掌握直三棱柱的性质、等边三角形的性质、线面垂直的判定和性质定理、平行四边形的性质、三角形的中位线定理和线面平行的判定定理是就如同的关键．

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