已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1， - 已解决

已知数列{an}是公差不为0的等差数列，a1=1，且a2，a4，a8成等比数列．

已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=1，且a₂，a₄，a₈成等比数列．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）若等比数列{b_n}的各项都是正数，

=15，

=255，且在前n项和中，最大项为16，令C_n=a_n•b_n，求数列{C_n}的前n项和T_n．

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解题思路：（1）由已知条件得（1+3d）²=（1+d）（1+7d），解得d=1，或d=0（舍），由此求出a_n=1+（n-1）×1=n．

（2）设{bn}的公比为q，由已知条件得

＝

(1−

)

1−q

=510，

＝

(1−

)

1−q

30，两式相除，得1+qⁿ=17，由在前n项和中，最大项为16，解得得b₁=q=2，b_n=2ⁿ．c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{C_n}的前n项和T_n．

（1）∵数列{a_n}是公差不为0的等差数列，a₁=1，且a₂，a₄，a₈成等比数列，

∴（1+3d）²=（1+d）（1+7d），

解得d=1，或d=0（舍），

∴a_n=1+（n-1）×1=n．

（2）设{bn}的公比为q，

∵

2=15，

S2n

2=255，

∴S2n＝

b1(1−q2n)

1−q=510，Sn＝

b1(1−qn)

1−q30，

两式相除，得1+qⁿ=17，

∴b_n=b1qn−1=

q•qn16•

q，

∵在前n项和中，最大项为16，

∴只有

q=1时最大，故b₁=q时取得．

将所得结果代入到

2＝15，求得b₁=q=2，b_n=2ⁿ．

c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ，

T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①

2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②

①-②，得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹

=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹

=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2，

∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：

本题考点：数列的求和．

考点点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．

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