∠DAC的度数为15° 或 75°.
作出直径AB,以下需分两种情形讨论：
① 当点D 和 点C 位于 直径的同侧时,∠DAC = 15°；
② 当点D 和 点C 位于 直径的异侧时,∠DAC = 75°.
以下具体讨论.
① 当点D 和 点C 位于 直径的同侧时,
连BC、BD.
∵ AB 是圆O的直径
∴ ∠ADB = ∠ACB = 90° （直径所对的圆周角为90°）
在 Rt△ACB 中,
∵ cos∠CAB = AC / AB = √3 / 2 ,而cos30° = √3 / 2 ,
∴ ∠CAB = 30°
在 Rt△ADB 中,
∵ cos∠DAB = AD / AB = √2 / 2 ,而cos45° = √2 / 2 ,
∴ ∠DAB = 45°
∴ ∠DAC = ∠DAB -- ∠CAB
= 45° -- 30°
= 15°
您当然也可以 不利用“三角函数”求解,
利用”勾股定理“
在 Rt△ACB 中,
∵ AC = √3,AB = 2,
∴ 由勾股定理得：
CB方 = AB方 -- AC方
= 2方 -- (√3)方
= 4 -- 3
= 1
∴ CB = 1 （即直角边CB 等于 斜边AB 的一半）
∴ ∠CAB = 30°（在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半）
在 Rt△ADB 中,
∵ AD = √2,AB = 2,
∴ 由勾股定理得：
DB方 = AB方 -- AD方
= 2方 -- (√2)方
= 4 -- 2
= 2
∴ DB = √2 ,即：DB = AD
∴ Rt△ADB 是等腰直角三角形
∴∠DAB = 45°
∴ ∠DAC = ∠DAB -- ∠CAB
= 45° -- 30°
= 15°
② 当点D 和 点C 位于 直径的异侧时,
连BC、BD.
∵ AB 是圆O的直径
∴ ∠ADB = ∠ACB = 90° （直径所对的圆周角为90°）
在 Rt△ACB 中,
∵ cos∠CAB = AC / AB = √3 / 2 ,而cos30° = √3 / 2 ,
∴ ∠CAB = 30°
在 Rt△ADB 中,
∵ cos∠DAB = AD / AB = √2 / 2 ,而cos45° = √2 / 2 ,
∴ ∠DAB = 45°
∴ ∠DAC = ∠DAB + ∠CAB
= 45° + 30°
= 75°
情形②同样,您也可以利用”勾股定理“
祝您学习顺利!
