椭圆的题目
(1)
令c²=a²-2 （c>0）
点F1、F2坐标分别为F1(-c,0) F2(c,0)
∵PF2与x轴垂直
∴点P的横坐标为c
又∵点P在第一象限内且在椭圆上
∴c²/a²+y²/2=1
y²=2(1-c²/a²)
y²=2(a²-c²)/a²
y²=4/a²
y=2/a
点P的坐标为(c,2/a)
向量F1P=(2c,2/a)
向量OP=(c,2/a)
向量F1P·向量OP=2c²+4/a²=5
2(a²-2)+4/a²=5
2a²-4+4/a²=5
2a²-9+4/a²=0
2a^4-9a²+4=0
(2a²-1)(a²-4)=0
∵a>√2
∴a²>2
∴a²=4
椭圆C的方程是：x²/4+y²/2=1
(2)
点B的坐标是(0,√2)
直线BE和直线l垂直
∴直线BE的斜率是：-1/(-1)=1
则直线BE的方程是：y=x+√2
联立y=x+√2与x²/4+y²/2=1
x²+2(x+√2)²=4
3x²+4√2x=0
x(3x+4√2)=0
x=0 或 x=-4√2/3
当x=0时,y=√2 是点B
当x=-4√2/3时,y=-4√2/3+√2=-√2/3
∴点E的坐标是(-4√2/3,-√2/3)
则线段BE的中点坐标是(-2√2/3,√2/3)
而线段BE的中点在直线l上
∴√2/3=4√2/3+m
m=-√2
曲线的题目：
(1)
向量MB=-2×向量MA
向量BM=2×向量MA
点M分有向线段MA的比为2
而点M的坐标为(√3/3,0) 点B的坐标为(0,2)
设点A的坐标为(x1,y1)
则有：
√3/3=(0+2x1)/(1+2)
0=(2+2y1)/(1+2)
解得：x1=√3/2 y1=-1
∴点A的坐标为(√3/2,-1)
而点A、B在曲线E上,把A、B的坐标代入曲线E的方程,得：
(√3/2)²a+(-1)²b=1
0²a+2²b=1
解得：a=1 b=1/4
∴曲线E的方程是：x²+y²/4=1
(2)当a=b=1时,曲线E的方程是：x²+y²=1
设此时点A的坐标为(x3,y3),点B的坐标为(x4,y4)
∵向量BM=2×向量MA
√3/3=(x4+2x3)/(1+2)
0=(y4+2y3)/(1+2)
可得：x4=√3-2x3 y4=-2y3
即点B的坐标可表示为(√3-2x3,-2y3)
而点A、B在曲线E上,把A、B的坐标代入曲线E的方程,得：
x3²+y3²=1 ①
(√3-2x3)²+(-2y3)²=1 ②
②化为：3-4√3x3+4x3²+4y3²=1
把①代入：3-4√3x3+4=1
4√3x3=6
x3=√3/2
代入①：(√3/2)²+y3²=1
3/4+y3²=1
y3²=1/4
y3=±1/2
当x3=√3/2,y3=1/2时,
x4=√3-2×√3/2=0
y4=-2×1/2=-1
点A坐标为(√3/2,1/2),点B坐标为(0,-1)
直线AB的斜率为：(1/2+1)/(√3/2-0)=√3
方程为：y=√3x-1
当x3=√3/2,y3=-1/2时,
x4=√3-2×√3/2=0
y4=-2×(-1/2)=1
点A坐标为(√3/2,-1/2),点B坐标为(0,1)
直线AB的斜率为：(-1/2-1)/(√3/2-0)=-√3
方程为：y=-√3x+1
终上所述：
直线AB的方程为：y=√3x-1
或：y=-√3x+1
