设函数f（x）在x=0的邻域内具有三阶导数，且limx→0(1+x+f(x)x)1x=e3
1个回答
解题思路：（1）将元极限化简，利用函数导数的性质，即可求出
（2）利用洛必达法则即可求出．
（1）因为
lim
x→0(1+x+
f(x)
x)
1
x=e3，
所以：
lim
x→0
ln(1+x+
f(x)
x)
x=3
由于分母极限为0，所以
lim
x→0ln(1+x+
f(x)
x)=0，
即：
lim
x→0(x+
f(x)
x)=0
lim
x→0
f(x)
x=0，
又因为 f（x）在x=0连续，则
lim
x→0f(x)=f(0)=0
f′(0)=
lim
x→0
f(x)-f(0)
x-0=0，
由：
lim
x→0
ln(1+x+
f(x)
x)
x=3
得：
lim
x→0
ln(1+x+
f(x)
x)
x=
lim
x→0
x+
f(x)
x
x=
lim
x→0(1+
f(x)
x2)=3，
所以：
lim
x→0
f(x)
x2=2，
即：
lim
x→0
f′(x)
2x=2，
由此得：f″(0)=
lim
x→0
f′(x)-f′(0)
x-0=4
（2）
lim
x→0(1+
f(x)
x)
1
x=e
点评：
本题考点： 复合函数的极限运算法则．
考点点评： 本题主要考查复合函数的极限的运算，属于基础题．
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