设函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=1和x=-1处有极值，且f（1）=-1，求a，b，c的值，并求出相应的极值．
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解题思路：先求导函数，再利用函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=1和x=-1处有极值，且f（1）=-1，可得方程组，从而可求a，b，c的值，考虑函数的单调性，即可确定函数的极值．
f′(x)＝3ax2+2bx+c…(2分)
∵f（x）在x=1和x=-1处有极值，且f（1）=-1，
∴
f′(−1)＝0
f′(1)＝0
f(1)＝−1∴
3a−2b+c＝0
3a+2b+c＝0
a+b+c＝−1∴
a＝
1
2
b＝0
c＝−
3
2…（6分）
∴f′(x)＝
3
2x2−
3
2＝
3
2(x+1)(x−1)
∴函数在（-∞，-1），（1，+∞）上，f′（x）＞0，函数为增函数；
函数在（-1，1）上，f′（x）＜0，函数为减函数，
∴当x=-1时，f（x）有极大值f（-1）=1；
当x=1时，f（x）有极小值f（1）=-1．…（12分）
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值与单调性，解题的关键是正确运用极值条件．
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