已知：x,y,z是整数,且它们的最大公约数是1,满足xy+yz=xz,求证：x-y是完全平方数.
2个回答

（以下采用通用记号(a,b)表示a,b的最大公因数）

由已知 z=xy/(x-y),(x,y,z)=1

设(x,y)=d,并设x=du,y=dv,则(u,v) = 1

代入上式得：z=duv/(u-v)

(u,u-v) = (u,v) = 1,(v,u-v) = (u,v) = 1

因此 (uv,u-v)=1

故 (u-v) 整除 d,设 t = (u-v)/d

则 z=tuv,即 t 整除 z

而 t 整除 d=(x,y),因此 t 整除 x,y,即 t 是x,y,z的公因数

由已知,t=1

即 (u-v)/d=1,u-v=d

x-y = du-dv = d*(u-v) = d^2是完全平方数.

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