已知函数f(x)＝x2ex，（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若方程f（x）=m有且只有一个解，求实数m的取值范围；
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解题思路：（Ⅰ）求导数f′（x），然后在定义域内解不等式f'（x）＞0、f'（x）＜0可得函数的增、减区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）极小值=f（0）=0，
f(x
)
极大值
＝f(2)＝
4
e
2
，易判断
f(x)＝
x
2
e
x
的值域为[0，+∞），结合图象可得m范围；
（Ⅲ）不妨设x1＜x2，由题意则x1＜0，0＜x2≤2，利用作差可判断f（x2）＜f（-x2），从而有f（x1）＜f（-x2），利用单调性可得结论；
（Ⅰ）f′(x)＝
x(2−x)
ex，
令
x(2−x)
ex＞0，解得0＜x＜2，
令f′（x）＜0，即
x(2−x)
ex＜0，解得x＜0，或x＞2，
∴f（x）的递增区间为（0，2），递减区间为（-∞，0）和（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）极小值=f（0）=0，f(x)极大值＝f(2)＝
4
e2，
∵方程f（x）=m有且只有一个根，又f(x)＝
x2
ex的值域为[0，+∞），
∴m∈(
4
e2，+∞)∪{0}；
（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）及当x1，x2∈（-∞，2]时，有f（x1）=f（x2），不妨设x1＜x2，
则有x1＜0，0＜x2≤2，
又f(x2)−f(−x2)＝
x22(1−e2x2)
ex2＜0，即f（x2）＜f（-x2），
∴f（x1）＜f（-x2），
又∵x1＜0，-x2＜0，且f（x）在（-∞，0）上单调递减，
∴x1＞-x2，即x1+x2＞0．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查函数与方程思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．
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