已知a，b，c∈（0，1）．求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能同时大于[1/4]．
1个回答

解题思路：假设三式同时大于[1/4]，即

(1−a)b＞

1

4

，

(1−b)c＞

1

4

，

(1−c)a＞

1

4

，让三个等式左边右边分别相乘得到

(1−a)a(1−b)b(1−c)c＞

1

64

，结合基本不等式可以判断错误，故假设不成立，即得证．

证明：假设三式同时大于[1/4]，即(1−a)b＞

1

4，(1−b)c＞

1

4，(1−c)a＞

1

4…2分

三式同向相乘，得(1−a)a(1−b)b(1−c)c＞

1

64（*）…5分

又(1−a)a≤(

1−a+a

2)2＝

1

4，…7分

同理(1−b)b≤

1

4，(1−c)c≤

1

4…9分

所以(1−a)a(1−b)b(1−c)c≤

1

64，…11分

与*式矛盾，即假设不成立，故结论正确…12分

点评：

本题考点： 反证法与放缩法．

考点点评： 本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，在此基础上推出矛盾，是解题的关键．

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