一道三角几何问题：过等腰直角三角形ABC的直角顶点C向中线BD作垂线交斜边于E,连接DE,求证：∠ADE=∠CDB
3个回答
证明：过 B 作BF ⊥ AC 于 F ,设BF与CD相交于点M.
∵ AB=BC,∠ABC=90°
∴ △ABC 是等腰直角三角形
∴ ∠A = 45°
在 △DBC 中,
∵ ∠DBC = 90°
∴ ∠CDB + ∠BCD = 90° ------------------- ①
∵ BE ⊥ CD
∴ ∠CDB + ∠DBE = 90° -------------------- ②
由 ① ② 知：∠BCD = ∠DBE
即：∠BCM = ∠ABE
∵ AB = BC,BF ⊥ AC
∴ ∠ABF = ∠CBF = 45° （等腰三角形底边上的高平分顶角）
∴ ∠CBM = 45°
在 △CBM 和 △BAE 中
∠CBM = ∠A = 45°
CB = BA
∠BCM = ∠ABE （已证）
∴△CBM ≌ △BAE （ASA）
∴ BM = AE
在△BDM 和 △ADE 中
BM = AE
∠A = ∠DBM = 45°
BD = AD
∴△BDM ≌ △ADE （SAS）
∴∠BDM = ∠ADE
即：∠CDB = ∠ADE
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